\documentclass[10pt,a4paper]{article} 

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\author{王立庆}
\title{数理统计教案}
\date{2018 年 3 月 20 日}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

\maketitle

\section*{基本信息}

\begin{itemize}
\item 使用教材：茆诗松、程依明、濮晓龙，概率论与数理统计教程，高等教育出版社，2011年2月第二版。
\item 参考文献：Morris H.DeGroot, Mark J.Schervish, Probability and Statistics, Fourth Edition, 机械工业出版社，2012年7月影印版。
\item 使用班级：2016级数学与应用数学专业，专业必修课。3学分。
\item 教学方法：课堂讲解，理论与例题结合。
\item 课时安排：正课27课时，习题9课时，测验9课时。共45课时。
\item 上课时间：周二1-3节五教111，收作业：每周二上午。
\item 答疑时间地点：周三上午3-4节。一教206. 邮箱：liqingwang@lixin.edu.cn.
\end{itemize}

\section*{教学计划}
\begin{table}[ht!]\centering
\begin{tabular}{|M{1.5cm}|M{6cm}|M{3cm}|}   \hline 
周 & 章节 & 内容 \\[5pt]  \hline 
1,2,3 & 第五章：统计量及其分布 & 第1-3讲 \\[5pt]  \hline 
4,5 &  &习题、测验一\\[5pt]  \hline 
6,7,8 & 第六章：参数估计 & 第4-6讲 \\[5pt]  \hline 
9,10 & & 习题、测验二\\ [5pt] \hline 
11,12,13 & 第七章：假设检验 & 第7-9讲 \\ [5pt] \hline 
14,15 & & 习题、测验三\\ [5pt] \hline 
 16& & 期末考试\\ [5pt] \hline 
\end{tabular}
\end{table}



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\newpage
\setcounter{tocdepth}{1}
\renewcommand\contentsname{目录}
\tableofcontents

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\newpage
\section{数理统计第一讲：(5.1-5.2) 总体与样本、样本数据的整理与显示}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 总体，个体，样本，样本容量，简单随机样本
\item 频数频率表，经验分布函数，格里纹科定理
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 什么是统计学？什么是统计学习？

\item 什么是总体？什么是个体？什么是样本？样本容量？

\item 啤酒厂生产的瓶装啤酒的规定的净含量为640克，由于随机性，事实上不可能使得所有的瓶装啤酒的净含量都为640克。现从某厂生产的啤酒中随机抽取10瓶测定其净含量，得到如下结果（单位：克）： 641、 635、 640、 637、 642、 638、 645、 643、 639、 640. 写出{\color{red}总体、样本、样本容量}。

\item 什么是{\color{red}简单随机样本}？

\item 设一批产品共 $N$ 个，不合格率为 $p$. 在总体所含个体数量 $N$ 很大时，从中不放回地随机取出 $n$ 个，当 $n<<N$ 时，可以把该样本近似看成简单随机样本。为什么？

\item 某食品厂生产听装饮料，现从生产线上随机抽取5听饮料，称得净重如下（单位：克）：351、347、355、344、351.
画出这个样本对应的{\color{red}经验分布函数}。 它和{\color{red}总体分布函数}有什么差别与联系？

\item 什么是{\color{red}经验分布函数}？叙述格里纹科定理。

\item 为研究某厂工人生产某种产品的能力，随机调查了20位工人某天生产的产品数量，数据如下： 160、 196、 164、 148、 170、 175、 178、 166、 181、 162、 161、 168、 166、 162、 172、 156、 170、 157、 162、 154.  
对该样本进行分组、确定组距、确定分组区间、作出{\color{red}频数频率表}。

\item 如何用图形来显示样本数据？（R程序）


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(5.1) 1, 2, 3, 4, 5, 6.

(5.2) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

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\newpage
\section{数理统计第二讲：(5.3) 统计量及其分布}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 统计量，统计量的观察值，基本统计量：样本均值与样本方差
\item 样本矩，次序统计量
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 什么是统计量？什么是统计量的观察值？%什么是抽样分布？

\item 某单位收集到20名青年人的某月的娱乐支出费用，写出该样本的{\color{red}样本均值}。若数据如下（单位：元）：
79、84、84、88、92、93、94、97、98、99、100、101、101、102、102、108、110、113、118、125. 计算{\color{red}样本均值的观察值}。

\item 总体 $X$ 有样本 $X_1,\cdots,X_n$，设 $\bar{X}$ 是样本均值。
设总体为正态分布，即 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$, 则样本均值服从什么分布？

\item 总体 $X$ 有样本 $X_1,\cdots,X_n$，设 $\bar{X}$ 是样本均值。
设总体分布未知，则样本均值的{\color{red}渐近分布}是什么？

\item 写出两个基本统计量。

\item 设总体 $X$ 有二阶矩，即存在 $E(X)=\mu$ 和 $Var(X)=\sigma^2$. 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是样本，设 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值和{\color{red}样本方差}。求这两个基本统计量的数学期望和方差。（要会证明）

\item 写出{\color{red}更多的统计量}。用R语言计算或绘图。
\begin{itemize}
\item 样本原点矩和样本中心矩。
\item 样本偏度和样本峰度。
\item 次序统计量。样本分位数、中位数。
\item 五数概括、箱线图。
\end{itemize}

\item 什么是{\color{red}次序统计量}?

\item 设总体 $X$ 的密度函数为 $p(x)$, 分布函数为 $F(x)$. 设 $X_1,\cdots, X_n$ 是样本。求第 $k$ 个次序统计量的密度函数。

\item 设总体的密度函数是 $p(x)=3x^2$, $0<x<1$. 抽取一个容量为 5 的样本，求概率 $P(X_{(2)}<0.5)$.

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(5.3) 1, 3, 8, 9, 13, 14, 22, 24, 29, 35.

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\section{数理统计第三讲：(5.4-5.5) 三大抽样分布、充分统计量}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 三大抽样分布，`数理统计基本定理'
\item 充分统计量，充分统计量的充分必要条件，充分性原则
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 如何理解{\color{red}三大抽样分布}？

\item 设总体 $X$ 是正态分布 $N(0,\sigma^2)$, 设有简单随机样本 $(X_1,\cdots,X_n)$. 求统计量 
$W=X_1^2+\cdots+X_n^2$ 的分布。

\item 设总体 $X$ 是正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$, 设有简单随机样本 $(X_1,\cdots,X_n)$. 设 $\bar{X}$ 和 $S^2$ 分别是样本均值和样本方差。则有下述{\color{red}`数理统计基本定理'}（要会证明）：
\begin{itemize}
\item 样本均值 $\bar{X}$ 与样本方差 $S^2$ 相互独立。
\item 样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布 $N(\mu,\sigma^2/n)$.
\item 样本方差 $S^2$ 调整一下服从$\chi^2$分布 $\chi^2(n-1)$.
\end{itemize}

\item 什么是 $\chi^2$ 分布？
什么是 $F$ 分布？
什么是 $t$ 分布？
$t$ 检验的基本原理是什么？

\item 设 $X_1,\cdots,X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$  的简单随机样本，如何构造统计量来估计参数 $\sigma^2$ ?
下述两个统计量哪个好一些？
\[ S=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar{X})^2 };\hspace{0.5cm}
d=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |X_i-\bar{X}|. \]


\item 为研究某运动员的打靶命中率 $\theta$,  我们观察了10次，发现第三次和第六次没命中，其余都命中。记 $T=X_1+\cdots+X_n$, 这里 $T_i=1$ 表示第 $i$ 次命中， $X_i=0$ 表示不命中。则 $T$ 是参数 $\theta$ 的充分统计量。

\item 设 $X_1,\cdots,X_n$ 为来自正态总体 $N(\mu,1)$  的简单随机样本，证明样本均值 $\bar{X}=:T$ 是参数 $\mu$ 的充分统计量。

\item {\color{red}充分统计量}的定义？充分性原则？如何判断一个统计量是不是充分的？设总体的概率函数是 $f(x;\theta)$ （离散或连续）, 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本，求 $T=T(X_1,\cdots,X_n)$ 是充分统计量的充分必要条件。

\item 设总体分布是 $X\sim U(0,\theta)$, %设有简单随机样本 $X_1,\cdots,X_n$.  
证明极大值 $T=\max\{X_1,\cdots,X_n\}$ 是参数 $\theta$ 的充分统计量。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(5.4) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 13, 16, 19.

(5.5) 1, 4, 7, 10.

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\section{数理统计第四讲：(6.1-6.2) 点估计、无偏性、矩估计、相合性}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 总体参数，点估计，无偏性，有效性
\item 矩估计，相合统计量，充分条件
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 总体为什么会有{\color{red}参数}？为什么要估计参数？

\item 什么是点估计？什么是{\color{red}无偏估计}？证明样本均值是总体均值的无偏估计。
设正态总体。证明样本方差是总体方差的无偏估计，但样本标准差不是总体标准差的无偏估计。

%\item 设总体服从二点分布 $X\sim b(1,p)$, $0<p<1$. 设样本 $X_1,\cdots, X_n$. 则参数 $\theta=\frac{1}{p}$ 不存在无偏估计。

\item 设参数 $\theta$ 有两个无偏估计 $\hat{\theta}_1$ 和 $\hat{\theta}_2$. 什么时候称其中一个比另一个{\color{red}更有效}？

\item 设总体分布任意，设总体均值为 $\mu$. 设有样本 $X_1,\cdots,X_n$. 
\begin{itemize}
\item 证明 $\hat{\mu}_1=X_1$ 和 $\hat{\mu}_2=\bar{X}$ 都是 $\mu$ 的无偏估计。
\item 判断哪个更有效。
\end{itemize}

\item 设总体在 $(0,\theta)$ 均匀分布。设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。顺序统计量为 $X_{(1)}\le\cdots\le X_{(n)}$.  
\begin{itemize}
\item $X_{(n)}$ 是 $\theta$ 的无偏估计吗？
\item 证明 $\hat{\theta}_1:=\frac{n+1}{n}X_{(n)}$ 是 $\theta$ 的一个无偏估计。
\item 证明 $\hat{\theta}_2:=2\bar{X}$ 是 $\theta$ 的一个{\color{red}更有效的无偏估计}。
\end{itemize}

\item 什么是{\color{red}替换原理}？替换原理的目的是什么？

\item 设总体是某型号汽车使用五升汽油的行驶路程。测试了20辆这样的汽车，记录他们使用五升汽油的行驶路程，
得到数据为 29.8, 27.6, 28.3, 27.9, 30.1, 28.7, 29.9, 28.0, 27.9, 28.7, 28.4, 27.2, 29.5, 28.5, 28.0, 30.0, 29.1, 29.8, 29.6, 26.9. 求总体均值、总体方差和中位数的{\color{red}矩估计}。

\item 
%\begin{itemize}
%\item 
问：设总体为指数分布，总体均值为 $1/\lambda$. 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。求参数 $\lambda$ 的矩估计。
%\item 问：设总体为均匀分布 $U(a,b)$, 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。求参数 $a$ 与 $b$ 的矩估计。
%\end{itemize}

\item 什么是{\color{red}相合估计量}？
设正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$, 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。证明样本均值是总体均值的相合估计，样本方差是总体方差的相合估计。

\item 证明：设 $\hat{\theta}_n=\hat{\theta}_n(X_1,\cdots, X_n)$ 是 $\theta$ 的一个估计量，
若下述成立，则 $\hat{\theta}_n$ 是 $\theta$ 的相合估计：
\[ \lim\limits_{n\to\infty} E(\hat{\theta}_n)=\theta, \,\, \lim\limits_{n\to\infty} Var(\hat{\theta}_n)=0. \]

%\item 设总体为均匀分布 $U(0,\theta)$, 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。证明最大值 $X_{(n)}$ 是参数 $\theta$ 的相合估计。

\item 设某试验会有三种结果，概率分别为 
\( p_1=\theta^2,\,\, p_2=2\theta(1-\theta),\,\, p_3=(1-\theta)^2. \)
现在做了 $n$ 次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 $n_1$, $n_2$, $n_3$. 试求参数 $\theta$ 的相合估计。



\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(6.1) 1, 2, 4, 5, 6, 9, 11.

(6.2) 1, 2, 3, 5, 6 ,7.

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\section{数理统计第五讲：(6.3-6.4) 最大似然估计、最小方差无偏估计}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 最大似然原理，最大似然估计，EM算法
\item 均方误差，一致最小方差无偏估计，费希尔信息量，CR不等式
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 如何理解{\color{red}最大似然原理}？

\item 设有外形完全相同的两个箱子，甲箱中有99个白球和1个黑球，乙箱中有99个黑球和1个白球。现在随机选取一个箱子，然后从中随机选取1球。若发现是白球，问刚才选的是甲箱的概率是多少？

\item 考虑产品是否合格。总体为二点分布 $b(1,p)$, 其中 $p$ 是未知的不合格率。设 $X_1,\cdots,X_n$ 是一个样本。写出似然函数，并求 $p$ 的{\color{red}最大似然估计}。

\item 设某试验会有三种结果，概率分别为 
\( p_1=\theta^2,\,\, p_2=2\theta(1-\theta),\,\, p_3=(1-\theta)^2. \)
现在做了 $n$ 次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 $n_1$, $n_2$, $n_3$. 试求参数 $\theta$ 的{\color{red}最大似然估计}。

\item 设正态总体 $N(\mu,\sigma^2)$. 设有样本 $X_1,\cdots,X_n$. 求这两个参数的{\color{red}最大似然估计}。

\item 理解和应用{\color{red}最大似然估计(MLE)}的不变性。

\item 设一次试验可能有四个结果，发生概率分别是 $\frac{2-\theta}{4}$, $\frac{1-\theta}{4}$, $\frac{1+\theta}{4}$, $\frac{\theta}{4}$. 其中 $\theta\in (0,1)$. 现进行 197次试验，四种结果发生的次数分别是 75, 18, 70, 34. 求 $\theta$ 的极大似然估计。
(引进潜变量 $z_1, z_2$)

\item 解释估计参数 $\theta$ 的{\color{red}EM算法}的两个步骤。

\item 评价点估计的一般标准是什么？什么是{\color{red}均方误差}？

\item 什么是一致最小均方误差估计？什么是一致最小方差无偏估计？写出{\color{red}UMVUE}的一个判别准则。

\item 设总体 $X$ 服从指数分布，总体均值为 $\theta$. 设样本 $X_1,\cdots,X_n$. 记 $T=X_1+\cdots+X_n$, $\bar{X}=T/n$. 证明：
\begin{itemize}
\item $T$ 是 $\theta$ 的充分统计量，$\bar{X}$ 是 $\theta$ 的无偏估计。
\item $\bar{X}$ 是 $\theta$ 的{\color{red}一致最小方差无偏估计}。
\end{itemize}

\item 解释统计推断中的{\color{red}充分性原则}。什么是费希尔信息量？计算泊松分布和指数分布的费希尔信息量。解释{\color{red}Cramer-Rao不等式}。

\item 设总体是指数分布 $Exp(1/\theta)$. 
\begin{itemize}
\item 计算该总体分布的费希尔信息量。
\item 求参数 $\theta$ 的CR下界。
\item 证明样本均值 $\bar{X}$ 是 $\theta$ 的UMVUE.
\end{itemize}

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(6.3) 1, 4, 6, 7, 10.

(6.4) 1, 2, 4, 5, 6, 7.

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\newpage
\section{数理统计第六讲：(6.5-6.6) 贝叶斯估计、区间估计}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 贝叶斯统计，先验分布，后验分布
\item 区间估计，枢轴量法，正态总体均值方差的估计，一般总体的参数估计
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 贝叶斯学派的统计推断的基础是什么？
什么是参数 $\theta$ 的{\color{red}先验分布}和{\color{red}后验分布}？

\item 解释{\color{red}贝叶斯公式}的密度函数形式。
如何从后验分布 $\pi(\theta\,|\, x)$ 得出参数的估计？

\item 设某事件 A 在一次试验中发生的概率为 $\theta$. 设先验信息为无，为估计 $\theta$ 对试验进行了$n$ 次独立观测，其中事件 A 发生了 $x$ 次。写出先验分布，样本和参数的联合分布，并求参数的后验期望估计。

\item 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是来自正态分布 $N(\mu,\sigma_0^2)$ 的一个样本，其中 $\sigma_0^2$ 已知，$\mu$ 未知，假设 $\mu$ 的先验分布也是正态分布 $N(\theta,\tau^2)$, 其中先验均值 $\theta$ 和先验方差 $\tau^2$ 均已知，求 $\mu$ 的贝叶斯估计。

\item 总体参数 $\theta$ 的{\color{red}区间估计}是什么？
设总体是正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$. 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是样本。 
求 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。

\item 如何理解单侧置信区间？构造参数的置信区间的常用方法是{\color{red}枢轴量法}，其步骤是什么？

%\item 设总体是均匀分布 $U(0,\theta)$. 设 $X_1,\cdots,X_n$ 是样本。求参数 $\theta$ 的最短置信区间。

\item 用天平秤量某物体的质量9次，得平均值 $\bar{x}=15.4$(g). 设天平秤量结果为正态分布，已知标准差为 $0.1$(g). 求该物体质量的 0.95 置信区间。

%\item 设总体为正态分布 $N(\mu,1)$, 为得到 $\mu$ 的置信水平为 $0.95$ 的置信区间的长度不超过 $1.2$, 样本容量最小多少？

\item 设轮胎寿命服从正态分布，现随机抽取12只轮胎，测得寿命(单位：万千米)如下：4.68, 4.85, 4.32, 4.85, 4.61, 5.02, 5.20, 4.60, 4.58, 4.72, 4.38, 4.70. 求平均寿命的 0.95 置信区间。
如果要计算轮胎寿命的置信下限，即以0.95 置信度可以说寿命至少是多少？

\item 某厂生产的零件的质量为正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$. 现抽取9个样品，测得其质量(单位：g)为
 45.3, 45.4, 45.1, 45.3, 45.5, 45.7, 45.4, 45.3, 45.6. 求总体标准差 $\sigma$ 的 0.95 置信区间。

\item 对某事件 A 观察 120 次，$A$ 发生了 36次。求事件 $A$ 的发生概率 $p$ 的置信区间。

%\item 为调查某电视节目的收视率 $p$, 为了使其置信区间的长度不超过 $2d_0$, 应至少调查的是用户？

\item 为比较两个小麦品种的产量，播种试验田甲品种8块乙品种10块。测得单位面积产量(单位：千克)为：甲：628, 583, 510, 554, 612, 523, 530, 615; 
乙：535, 433, 398, 470, 567, 480, 498, 560, 503, 426.
设单位面积产量服从正态分布，方差相等。求甲乙单位面积产量差的置信区间 $(\alpha=0.05)$.

\item 
设自动机床加工的套筒直径服从正态分布，在两个班次中分别抽取5个和6个，测得直径(单位：cm)为：
甲：5.06, 5.08, 5.03, 5.00, 5.07; 
乙：4.98, 5.03, 4.97, 4.99, 5.02, 4.95.
求两个班次加工的套筒直径的方差比 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的 0.95 置信区间。

\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(6.5) 1, 2, 3, 11, 12.

(6.6) 1, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 17.

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\newpage
\section{数理统计第七讲：(7.1-7.2) 假设检验的基本思想、正态总体参数检验}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 假设检验的基本思想和步骤，两类错误，显著性水平，拒绝域，$p$ 值
\item 正态总体均值和方差的检验，单样本，双样本，配对样本
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item 假设检验的基本思想是什么？
叙述{\color{red}假设检验的基本步骤}。解释假设检验的{\color{red}两类错误}。

\item 某厂生产的合金强度服从正态分布 $N(\theta,16)$, 其中 $\theta$ 的设定值不小于110帕。某天从生产的产品中随机抽取25块合金，测得其强度值为 $x_1,\cdots,x_n$, 均值为 $\bar{x}=108.2$ 帕。问当日生产是否正常？


\item 什么是{\color{red}功效函数}？某厂生产的合金强度服从正态分布 $N(\theta,16)$, 其中 $\theta$ 的设定值不小于110帕。某天从生产的产品中随机抽取25块合金。计算该检验的功效函数。

\item 什么是假设检验的{\color{red}显著性水平}？什么是{\color{red}拒绝域}？什么是{\color{red}检验的 $p$ 值}？

\item 设总体 $N(\mu,\sigma^2)$, 方差 $\sigma^2$ 已知（或未知），如何检验 
\[ H_0:\mu\le\mu_0 \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:\mu>\mu_0. \,\,\, (\textrm{显著性水平为 } \alpha) ? \]

\item 从甲地发送一个信号到乙地。设乙地接受到的信号是一个服从正态分布 $N(\mu,0.2^2)$ 的随机变量。其中 $\mu$ 是甲地发送的真实信号值。现甲地重复发送同一信号五次，乙地收到的信号值为 8.05, 8.15, 8.2, 8.1, 8.25. 设接受方有理由猜测甲地发送的信号值是 8. 问能否接受这猜测？ 

\item 某厂生产的某种铝材的长度服从正态分布，设均值设定为 240cm. 现在从该厂抽取5件产品，测得其长度为 239.7, 239.6, 239, 240, 239.2 (cm). 判断该厂此类铝材的长度是否满足设定的要求？

\item 叙述假设检验和区间估计的关系。
\item 两个{\color{red}正态总体}的均值差的检验有哪些类型？分别用什么{\color{red}统计量}？
样本数据的类型有哪些？

\item 现有两种合金的耐磨性指标如下：
镍合金：76.43, 76.21, 73.58, 69.69, 65.29, 70.83, 82.75, 72.34; 
铜合金：73.66, 64.27, 69.34, 71.37, 69.77, 68.12, 67.27, 68.07, 62.61.
判断镍合金的硬度是否比铜合金有显著提高？($\alpha=0.05$)


%\item 为比较两种谷物种子的优劣，选10块土质不全相同的土地，并将每块土地分成面积相同的两部分，分别种植着两种种子。其余种植条件都一样。设单位产量如下，判断这两种种子是否有显著差异？
%\begin{table}[ht]\centering
%\begin{tabular}{c|c|c|c|c}
%土地 & 1 & 2 & $\cdots$ & 10 \\ \hline
%种子一的产量  & 23 & 35 & $\cdots$ & 28 \\ \hline
%种子二的产量  & 30 & 39 & $\cdots$ & 31 \\ 
%\end{tabular}
%\end{table}

%\item 某类钢板每块的重量服从正态分布，其一项质量指标是重量的方差不得超过 0.016. 现从某天生产的钢板中随机抽取25块，测得样本方差为 $s^2=0.025$. 问这天生产的钢板是否满足要求？($\alpha=0.05$).

%\item 设样本 $X_1,\cdots,X_m$ 来自 $N(\mu_1,\sigma_1^2)$, 另一组样本 $Y_1,\cdots,Y_n$ 来自 $N(\mu_2,\sigma_2^2)$, 
%如何检验假设：
%\[ H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2 \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:\sigma_1^2\neq\sigma_2^2. \,\,\, (\textrm{显著性水平为 } \alpha) ? \]

\item 甲乙两台机床加工某种零件，其直径服从正态分布。总体方差反映了加工精度。分别抽取7件产品和8件产品，测得直径为：甲：16.2, 16.8, 15.8, 15.5, 16.7, 15.6, 15.8; 乙：15.9, 16.0, 16.4, 16.1, 16.5, 15.8, 15.7, 15.0. 
试比较两台机床的加工精度有无差别。($\alpha=0.05$).


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(7.1) 1, 3, 5, 7, 8.

(7.2) 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23.

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\section{数理统计第八讲：(7.3-7.4) 非正态总体参数检验、似然比检验、分布拟合检验}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 指数分布的参数检验，比率的检验，大样本检验
\item 似然比检验，皮尔逊拟合优度检验
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item （{\color{red}指数分布的参数检验}）设总体服从指数分布 $X\sim Exp(1/\theta)$, 均值 $\mu=\theta$. 设显著性水平 $\alpha$. 如何检验 \[ H_0:\theta\le\theta_0 \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:\theta>\theta_0 \,\, ? \]

\item 设要检验某种元件的平均寿命是否不小于6000小时。设总体寿命服从指数分布。检测5个元件，测得失效时间为 395, 4094, 119, 11572, 6133 (小时)。检验该假设。

\item（{\color{red}比率的检验}）设某事件发生的概率为$p$. 作 $n$ 次独立试验，测得该事件发生 $m$ 次。如何检验 \[ H_0: p\le p_0 \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1: p> p_0 \,\, ? \]

\item 设某厂生产的产品的优质品率一直保持在 40\%. 近期抽检20件，发现有优质品7件。在 $\alpha=0.05$ 下能否认为优质品率仍保持在 40\% ?

\item （{\color{red}大样本检验}）设总体分布 $F(x;\theta)$. 设总体均值为 $\theta$, 方差为 $\sigma^2(\theta)$. 如何检验 \[ H_0:\theta\le\theta_0 \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:\theta>\theta_0 \,\, ? \]

%\item 某厂生产的产品不合格率不高于 10\%. 一次检查80件，发现有11件不合格品。在 $\alpha=0.05$ 下能否认为不合格率仍然是 10\% ?

\item 某建筑公司宣称其麾下建筑工地平均每天发生事故数不超过 0.6 起。现记录某工地200天的安全生产情况，事故记录如下。设 $\alpha=0.05$. 检验该公司的宣称是否成立。

\item 什么是{\color{red}似然比检验}？
设总体是正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$, 两个参数都未知。求下述问题的似然比检验（$\alpha=0.05$）：
\[ H_0: \mu=\mu_0, \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:\mu\neq\mu_0. \]

\item 什么是{\color{red}分布的拟合检验}？
孟德尔按颜色和形状把豌豆分为四类，并按他的原理判断比例为9:3:3:1. 一次试验中收获556个豌豆，四类豌豆的个数为315, 108, 101, 32. 问该数据是否与孟德尔提出的比例吻合？

\item 如何用似然比检验的方法得到{\color{red}皮尔逊拟合优度检验}？

\item 卢瑟福观测一枚放射性物质在单位时间内放射出的质点数目，检验该数目是否服从泊松分布？
\begin{table}[ht]\centering \begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c} %\hline
质点数& 0 &1  &2 &3 &4&5 &$\cdots$  \\ \hline
观测数&57  &203  &383 &525 &532 &408 &$\cdots$ \\ %\hline
\end{tabular}\end{table}


\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(7.3) 1, 3, 5, 7, 9, 11.

(7.4) 1, 5, 6, 7, 9, 11, 13, 15.

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\newpage
\section{数理统计第九讲：(7.5-7.6) 正态性检验、非参数检验}
\subsection{内容提要}
\begin{itemize}
\item 检验问题：正态性，独立性，随机性，分位数，总体参数
\item 检验方法：QQ图， SW检验，EP检验，游程检验，秩检验，秩和检验
\end{itemize}

\subsection{例题讲解}
\begin{enumerate}
\item （正态性检验）某工厂生产一种滚珠，随机抽取50件，测得直径见数据文件。问滚珠直径{\color{red}是否服从正态分布}？

\item （列联表的{\color{red}独立性检验}）为了研究儿童智力发展与营养的关系，某研究机构调查了1436名儿童，得到列联表数据。在显著性水平 0.05 下判断智力发展和营养有无关系。

\item 简述正态性检验有哪些？解释 Shapiro-Wilk 正态性检验。解释 Epps-Pulley 正态性检验。

\item 随机选取10个零件，测得直径与标准尺寸的偏差如下：
9.4, 8.8, 9.6, 10.2, 10.1, 7.2, 11.1, 8.2, 8.6, 9.8.
问这些偏差是否服从正态分布？

\item 考察某种纱线的强度的分布类型，实验得到了一个容量为25的样本：
147, 186, 141, 183, 190, 123, 155, 164, 183, 150, 134, 170, 
144, 99, 156, 176, 160, 174, 153, 162, 167, 179, 78, 173, 168.
用 EP 检验判断总体是否服从正态分布。

\item 如何检验数据的随机性？使用{\color{red}游程检验}的方法。
设序列中0和1的个数分别为 $n_1$ 和 $n_2$, 其和为样本量 $n$. 求序列的总游程数 $R$ 的分布列。

\item 对某型号的20根电缆依次进行耐压试验，测得数据如下：156.0, 255.5, 132.0, 246.7, 867.9, 86.4, 610.4, 125.7, 150.4, 117.6, 201.9, 207.2, 189.8, 585.8, 153.1, 565.4, 511.0, 567.0, 222.3, 141.5. 
这些数据能否认为受到非随机因素的干扰？

%\item 如何用游程检验两个总体是否有相同分布？

\item 设总体为连续分布，分布函数为 $F(x)$, 设样本 $x_1,\cdots,x_n$, 如何检验 $F$ 的中位数为零？即：
\[ H_0: F(0)=0.5, \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:F(0)\neq 0.5. \]

\item （{\color{red}分位数的检验}）资料表明，某种圆钢的90\%的产品的硬度不小于103. 现随机挑选20根圆钢进行试验，测得其硬度分别为：
142, 134, 119, 98, 131,102, 154, 122, 93, 137, 
86, 119, 161, 144, 158, 165, 81, 117, 128, 113. 
检验 \( H_0: x_{0.10}\ge 103, \,\,\mathrm{v.s.}\,\, H_1:x_{0.10}< 103. \)

\item 解释{\color{red}秩检验}。解释{\color{red}秩和检验}。

\item 设某样本的观测值为 $(x_1,\cdots,x_6)= (196, 224, 171, 241, 162, 193).$
计算该样本的秩 $(R_1,\cdots,R_6)$.

\item 为评估某处理羊绒含脂率的工艺，收集了6组处理前的羊绒和5组处理后的羊绒，测得含脂率如下，问处理后的含脂率是否明显下降了？
\begin{table}[ht]\centering
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c}
%\hline
处理前& 0.20 &0.24  &0.66 &0.42 &0.12 &0.25   \\
\hline
处理后&0.13  &0.07  &0.21 &0.08 &0.19 & \\
%\hline
\end{tabular}
\end{table}



\end{enumerate}

\subsection{课后习题}
(7.5) 1, 3.

(7.6) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

\end{document}

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